单纯形(重要的数学算法：单纯形算法)

单纯形算法

单纯形算法是一种求解线性规划问题的重要算法，它是在1960年由乔治·达内提出的。该算法基于一种迭代的思想，每一次迭代都会将问题转化为一个更加简单的问题，最终得到问题的最优解。

算法步骤

单纯形算法有以下几个基本步骤：

1. 初始化

在算法开始之前，需要确定一个初始的可行解。如果初始解不可行，则需要添加一个人工变量进去，使得问题成为可行的线性规划问题。

2. 选择进入变量

单纯形算法通过选择一个进入变量来进入下一次迭代。通常会选择使目标函数值增加最多的变量。

3. 选择离开变量

为了保持可行性，需要选择一个离开变量，使得进入变量的系数为正数时得到一个可行解。可以通过找到一个极小的变量来实现这个目标。

4. 形成新的基变量集

将离开变量替换成进入变量，从而形成新的基变量集。通过这种方式可以继续寻找更优解。

5. 重复以上步骤

不断重复以上步骤，直到目标函数的值最优或者问题无解。

优缺点

优点

单纯形算法可以得到非线性约束的最优解，并且算法的计算效率高。在实际应用中，往往能够比较快速地得到一个较优解。

缺点

单纯形算法的主要缺点是可能出现退化问题，即在新的基变量集下，目标函数的值并未发生改变。为了解决这个问题，需要对算法进行改进，如使用双人算法或者内点算法。

应用

单纯形算法广泛应用于各种优化问题中，如生产计划问题、投资组合问题、供应链问题等。它也是多项式时间内求解线性规划问题的证明之一。

总之，单纯形算法在实际应用中具有广泛的适用性和优越的计算性能，是解决复杂问题的一种强有力的工具。